前言
本系列主要为《Convex Optimization》学习笔记
凸集
直线与线段
设$x_{1} \neq x_{2}$为$\mathbb{R}^{n}$空间中两个点，则
$ y=\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2},\theta \in \mathbb{R} $
为一条穿越$x_{1},x_{2}$的直线。当$\theta$在0~1变动时，可构成$x_{1}$与$x_{2}$之间的闭线段。y也可表示为：
$y=x_{2}+\theta(x_{1}-x_{2})$
这种形式可以解释成由基点$x_{2}$向方向$x_{1}-x_{2}$走一定距离的所有点的集合，当$\theta$在0~1之间时，构成了线段，若$\theta$可取任意值，则是直线。
仿射集合
设集合$C \subseteq \mathbb{R}^{n}$若$\forall x_{1},x_{2} \in C ,\theta \in \mathbb{R}$有$\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2} \in C$则称集合$C$为仿射的。
该定义也可以扩展到多个点的情况。当$\theta_{1}+…+\theta_{k} = 1$时，我们称$\theta_{1}x_{1} + \theta_{2}x_{2}+…+\theta_{k}x_{k}$为$x_{1},…,x_{k}$的仿射组合。
凸集定义
集合$C$被称为凸集，如果$C$中任意两点间的线段仍在$C$，即对于$\forall x_{1},x_{2} \in C$和满足$0 \leqslant \theta \leqslant 1$均有$\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} \in C$
点$\theta_{1}x_{1} + \theta_{2}x_{2}+…+\theta_{k}x_{k}$为点$x_{1},x_{2},…x_{k}$的一个凸组合，其中$\theta_{1}+…+\theta_{k}$并且$\theta_{i} \geqslant 0, i=1,……,k$
与仿射集合类似，一个集合是凸集等价于集合包含其中所有点的凸组合。
我们称集合C为所有点的凸组合的集合为其凸包，记为 $conv C$:
$conv C = \lbrace \theta_{1}x_{1}+…+\theta_{k}x_{k}| x_{i} \in C, \theta_{i} \geqslant 0, i =1,…,k, \theta_{1}+\theta_{2}+…+\theta_{k}=1\rbrace$
凸包$conv C$总是凸的，它是包含$C$的最小的凸集。